外出先でタブレットから見守り

自分の環境がiPhone中心なので、ご要望に沿えるかわかりませんが、常時監視であればiPadもお勧めです。
iOS11以上のデバイスであればATOMアプリが入りますので、5世代目以降のiPadや2世代目以降のiPadminiなどもお勧めです。

Androidですと、Kindleと同等かそれ以上のスペックのものであれば安定して視聴できると思います。

なお、トピックをいろいろ見てみたのですが、常時視聴をしているとキャッシュが溜まるため？かズレるそうです。定期的にアプリの再起動が必要そうですね。